Come risolvere un sistema di equazioni lineari

Un'equazione lineare è un'equazione che rappresenta graficamente una linea. Un sistema di equazioni lineari è quando ci sono due o più equazioni lineari raggruppate insieme.

Per semplificare l'illustrazione, considereremo sistemi di due equazioni. Come suggerisce il nome, ci sono due variabili sconosciute. Spesso sono designati dalle lettere x e y . Se le equazioni descrivono un processo, le lettere possono essere scelte in base ai ruoli che giocano. Ad esempio, d può rappresentare la distanza e t il tempo.

In questo articolo impareremo come risolvere sistemi di equazioni lineari usando due metodi divertenti. Ma prima di iniziare, vediamo come si finisce con un particolare sistema guardando un esempio di vita reale.

Derivazione di un sistema

Un ragazzo sale sulla sua bicicletta e inizia ad andare a scuola. Percorre 200 yard ogni minuto.

6 minuti dopo, sua madre si rende conto che suo figlio ha dimenticato il pranzo. Sale sulla sua bicicletta e inizia a seguire il ragazzo. Percorre 500 yard ogni minuto (è un'olimpionica e una medaglia d'oro).

Vogliamo capire quanto tempo impiega la madre a raggiungere il bambino e quanto deve percorrere la strada per farlo.

Dal momento che il ragazzo si estende su 200 yarde ogni minuto, in t minuti si coprirà 200 volte t cantieri, o 200T cantieri.

Sua madre inizia ad andare in bicicletta 6 minuti dopo, quindi pedala per (t - 6) minuti. Dato che percorre 500 iarde ogni minuto, in (t - 6) minuti copre 500 volte (t - 6) iarde o 500 (t - 6) iarde.

Quando lei lo raggiunge, entrambi hanno coperto la stessa distanza. Diciamo per ora che la distanza è d .

Per il bambino abbiamo   d = 200t e per sua madre abbiamo d = 500 (t - 6) . Ora abbiamo il nostro sistema di due equazioni.

Spesso viene aggiunta una parentesi graffa per indicare che le equazioni formano un sistema.

Ora vediamo come possiamo risolvere questo sistema.

Risolvere per sostituzione

Il primo metodo che considereremo utilizza la sostituzione .

Abbiamo due incognite qui, d e t . L'idea è di sbarazzarsi di una variabile esprimendola usando l'altra variabile.

L'equazione in alto ci dice che d = 200t , quindi inseriamo 200t per la d nell'equazione in basso. Di conseguenza, abbiamo un'equazione con solo la variabile t .

Per prima cosa espandiamo il lato destro: 500 (t -6) = 500t - 500 * 6 = 500t - 3000 .

Quindi semplifichiamo spostando i membri sconosciuti da un lato e i membri noti dall'altro. Il risultato è: 500t - 200t = 3000 .

Risolvendo per t otteniamo t = 10 , o poiché misuriamo il tempo in minuti, t = 10 minuti . In altre parole, la madre raggiungerà suo figlio tra 10 minuti.

La seconda parte del nostro problema è scoprire quanto ha dovuto percorrere in bicicletta per raggiungerlo.

Per rispondere a questa domanda, dobbiamo trovare d . La sostituzione di t = 10 in una delle due equazioni ci darà quella risposta.

Per semplificare, usa l'equazione in alto, d = 200t = 200 * 10 = 2000 . Poiché misuriamo la distanza in iarde, d = 2000 iarde .

Mettiamo alla prova la tua comprensione fino ad ora: prova a risolvere il prossimo sistema da solo:

{

y = 2x

y = 3 (x - 1)

Scegli 1 risposta


x = 3 e y = 6
x = 1 e y = 2
x = 6 e y = 3
x = 1/2 e y = 2/3
Invia

Nel sistema sopra, le variabili sconosciute sono x e y .

Dall'equazione in alto sappiamo che y = 2x . Sostituendolo all'equazione in basso si ottiene 2 (2x) = 3 (x + 1) .

Una volta espanso e semplificato, otteniamo 4x = 3x + 3 . Oppure x = 3 . Pertanto, y = 2 * 3 = 6 .

Risolvendo graficamente

Il secondo metodo che considereremo utilizza la rappresentazione grafica ,dove troviamo la soluzione a un sistema di equazioni rappresentandole graficamente.

Ad esempio, prendi questo sistema: y = 2x + 3 e y = 9 - x .

Un grafico di ciascuna equazione sarà una linea. Il primo per y = 2x + 3 ha questo aspetto:  

Successivamente, possiamo rappresentare graficamente una linea per y = 9 - x :  

Queste due linee si intersecano esattamente in un punto. Questo punto è l'unica soluzione per entrambe le equazioni:

La coppia ordinata (2, 7) ci fornisce le coordinate del nostro punto di intersezione. Questa coppia è la soluzione al sistema. La sostituzione di x = 2 e y = 7 ci consentirà di verificarlo.

E se i grafici fossero paralleli e non si intersecassero affatto? Per esempio:

Quando i grafici delle equazioni non si intersecano, significa che il nostro sistema non ha soluzione. Cercare di risolvere per sostituzione lo proverà.

Il risultato di x - 1 = x - 3 sarà 0 = -2 , che è sempre falso .

Ma cosa succede se due grafici sono uguali e sono direttamente uno sopra l'altro?

In questi casi ci sono un numero infinito di punti di intersezione. Ciò significa che il nostro sistema ha un numero infinito di soluzioni. L'uso del metodo di sostituzione lo dimostrerà.

Il risultato di x - 2 = x - 2 è 0 = 0 , che è sempre vero .

Più pratica

Prova a utilizzare i metodi di sostituzione e di rappresentazione grafica per risolvere i seguenti sistemi. Questi metodi si completano a vicenda e ti aiuteranno a consolidare le tue conoscenze.

{

y = 2

3 anni - 2x = 4

Scegli 1 risposta


Il sistema non ha soluzione
x = 1/2 e y = 1
x = 1 e y = 2
x = 0 e y = 2
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La scelta di una particolare variabile da utilizzare in sostituzione dovrebbe rendere più facile trovare una soluzione.

Prova a esprimere x con altri due membri nell'equazione in alto, quindi sostituisci il risultato nell'equazione in basso. In questo modo eviterai di gestire le frazioni.

{

x + 5y = 7

3x - 2y = 4

Scegli 1 risposta


x = 5 e y = 5/2
x = 1 e y = 2
x = 1 e y = 1
x = 2 e y = 1
Invia

Facciamo un'altra sfida:

{

-6x - 8y = 4

y = -x - 1

Scegli 1 risposta


x = -2 e y = 1
Infinito numero di soluzioni
x = 2 e y = -1
x = -1/6 e y = 6
Invia

Ora che ne sai abbastanza di sostituzione e rappresentazione grafica, esci e risolvi equazioni più lineari.